À propos de ma formule préférée
Beaucoup de gens trouvent la formule suivante choquante :
Ils pensent que je n'ai pas bien appris les mathématiques à l'école, ou que je suis devenu fou.
Pour être honnête, je ne suis pas sûr qu'ils aient tort sur ce dernier point.
Mais il y a peut-être une autre possibilité :
Vos professeurs ne vous ont peut-être pas dit toute la vérité ?
Après tout, ne vous ont-ils pas dit qu'un atome était constitué d'un noyau fait de grosses boules nommées neutrons et protons, avec d'autres petites boules nommées électrons qui orbitent autour ?
Voici une autre formule choquante :
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Ne partez pas ! Revenez ! Je vais vous expliquer...
Je vais même vous donner
deux explications.
Non, encore mieux, je vais vous donner
TROIS explications !
L'explication "courte"
Votre confusion provient du fait que vous avez supposé que cette formule était calculée dans
ℝ, l'ensemble des nombres réels.
Mais avez-vous déjà entendu parler des
nombres p-adiques?
En quelques mots, les nombres
p/-adiques sont une extension de **ℚ**, l'ensemble des nombres rationnels. Mais cette extension s'effectue différemment de celle qui mène à **ℝ**.
La différence réside dans la façon dont est calculée la valeur absolue, et cela implique que la partie droite de la formule est une série convergente dans l'ensemble des nombres
p/-adiques lorsque /p vaut 2. Et la limite de cette série est... -1.
Et puisque
ei**π = -1, la formule est bien correcte.
Vous pourriez vous demander si la partie gauche de la formule a bien un sens au sein de l'ensemble des nombres
p/-adiques ?
Pour être honnête, je n'en suis pas certain. Mais si j'ai bien compris l'article de Wikipedia, il me semble que oui.
Si vous pouvez le confirmer, dite-le moi !
L'explication "longue"
Dans cette explication, votre confusion provient du fait qu'en mathématiques, on écrit souvent un algorithme et la valeur d'une fonction de la même manière que lorsque la valeur de cette fonction se calcule avec cet algorithme
la plupart du temps.
Je sais, ce n'est pas très clair. Je veux parler des
fonctions analytiques et de leur
prolongement.
En deux mots, la partie droite de la formule n'est pas vraiment une somme infinie. C'est en fait la valeur d'une fonction calculée de cette manière :
f(x) = ∑ xk, k:0→+∞
Vous me direz, cette fonction n'est définie que pour
x ∈ ]0,1[!
J'opinerai.
Mais si
f est d'une forme bien particulière, c'est-à-dire si
f est une fonction
analytique, ce qui est bien le cas ici, alors on peut définir une fonction
g qui est le
prolongement analytique de la fonction
f.
Cette fonction
g prend les mêmes valeurs que
f dans l'intervalle où
f est définie, et d'autres valeurs ailleurs. De plus, ce prolongement est unique !
Reportez-vous à l'article de Wikipedia pour plus de détails.
Ainsi, dans notre cas spécifique, la somme infinie est en fait le prolongement de
f(
x), et ce prolongement prend la valeur -1 lorsque
x = 2 !
Et puisque
ei**π = -1, la formule est bien correcte !
De même, la deuxième formule choquante est aussi le résultat d'un prolongement analytique. Cette formule a été découverte par
Bernard Riemann, et redécouverte quelques années plus tard par
Ramanujan.
L'explication du Geek
Un geek n'a pas besoin d'apprendre les mathématiques.
Il a un ordinateur.
Lancez ce qui suit dans Gambas :
Dim S AS Integer
Dim P AS Integer
P = 1
Do
S += P
Print S;;
P += P
LOOP
1 3 7 15 31 63 127 ... 1073741823 2147483647 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ...
Facile... Mon petit programme montre que cette formule converge vers -1.
Écrire des programmes est tellement plus facile que faire des mathématiques... :-)
Conclusion
J'espère que ces trois explications vous auront convaincus.
Pour information,
eiπ = -1 était la formule préférée de
Richard Feynman.
J'ai simplement ajouté ma petite série parce que je suis un informaticien et que j'aime bien les puissances de deux. :-)